世界上最大的数是什么最小的呢(世界上最小的数是几)

世界上最大的数是什么最小的呢(世界上最小的数是几)

在数学上,数的个数是无限的,而且大小也是无限的。无论多大的数,都能找出比它更大的数。假设M是一个极大的数,哪怕给这个数加上0.0001,所得到的M+0.0001也会比M大。同样地,无论多小的数,也能找出比它更小的数,只要在它基础上再减去一个大于0的数即可。

因此,数学上并不存在最大的数,也不存在最小的数。不过,数学家倒是发现过一些非常大且有意义的数,它们能够大到难以想象的程度。另一方面,给非常大的数添上负号,就能得到非常小的数,所以要找最小的数等同于找最大的数。那么,数学家发现的最大有意义的数是多少呢?

最大的数

构造一个大数,很多人可能会首先想到指数或者阶乘。9^128相当于1.39×10^122,128!相当于3.85×10^215,这两个数已经远远超过了可观测宇宙中的粒子总数(10^80)。但在数学上,还有构造出更大数的方法,比如高德纳箭号表示法:

根据上式,如果a=3,和b=5,当n=1时,可得:

3↑5=3^5=3×3×3×3×3=243

当n=2时,3↑↑5这个数的大小会急剧增大:

3↑↑5=3^3^3^3^3=3^3^3^27=3^3^7625597484987≈3^(1.258×10^3638334640024)

3↑↑5这个数已经大到不可思议的程度,如果再加一层,3↑↑↑5更是大到无法想象的程度。

数学家葛立恒在解决与拉姆齐二染色定理有关的问题时,发现了一个当时被认为最大的数,后来被称为葛立恒数。这个数实在太大了,它的表示方法很特别,如下所示:

从下往上看,每一层的数都表示上一层的箭头个数。第一层为:

g(1)=3↑↑↑↑3=3↑↑↑[3↑↑↑(3↑↑↑3)]

3↑↑↑3=3^3^3……^3,这个指数塔中,共有7625597484987或者3^3^3个3

就g(1)而言,这个数已经大到无法用常规的方式表达。到了第二层,箭头个数变成了g(1)个,这一层的数会更加大幅增长。而葛立恒数总计64层,每增加一层,数就会急剧增大。葛立恒数之大超乎想象,如果要把这个数完全展开,在直径930亿光年的可观测宇宙中,每个最小的普朗克空间(4×10^-105立方米)写一个数,也远远写不完葛立恒数的所有数。

后来,数学家又发现了超越葛立恒数的数,当然不是“葛立恒数+1”,或者“葛立恒数^葛立恒数”,因为这些数没有什么意义。这个更大的数与矩阵树定理中的TREE函数有关,这是一个增长速度极快的函数。

TREE函数增长快到什么程度呢?TREE(1)=1,TREE(2)=3,乍一看这个函数不咋样。然而,到了TREE(3),这个数突然暴增到不可思议的巨大程度。TREE(3)比葛立恒数,就像葛立恒数比1。

TREE(3)的最大纪录也被打破了,因为还有比TREE函数增长速度快得多的SSCG函数。SSCG(0)=2,SSCG(1)=5,这个函数一开始也是增长很慢,但SSCG(2)已经达到了3×2^(3×2^95)-8,相当于3后面跟了3万亿亿亿个0。到了SSCG(3),这个数已经远远超过TREE(TREE(…TREE(3)…)),总嵌套层数为TREE(3)个,葛立恒数在它面前小到近乎为0。SCG是与SSCG相近的函数,其增长速度还要更快,SCG(3)还要大于SSCG(3)。

最小的数

如果要说数学中最小的数,可以给SCG(3)加个负号,-SCG(3)可以小到不可思议的程度。如果要说科学意义上最小的数,各种普朗克单位就非常小,比如上面提到的1普朗克空间,数量级在10^-105。更小可以小到0,那就是0开氏度的绝对零度,但这个温度在现实中无法达到。

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